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地址 上海石门二路 网站建设,老闵行小学排名,直播app开发价格,我爱你域名的网站视觉SLAM十四讲解读-(v2.p85)李代数求导(扰动模型-左乘)1. 问题背景和目标 这里采用扰动模型#xff08;左乘#xff09;来求导。对旋转矩阵 RRR 进行一次左扰动 ΔR\Delta RΔR#xff0c;设左扰动 ΔR\Delta RΔR 对应的李代数为 φ\varphiφ#xff0c;目标是计算 ∂(Rp…视觉SLAM十四讲解读-(v2.p85)李代数求导(扰动模型-左乘)1. 问题背景和目标这里采用扰动模型左乘来求导。对旋转矩阵RRR进行一次左扰动ΔR\Delta RΔR设左扰动ΔR\Delta RΔR对应的李代数为φ\varphiφ目标是计算∂(Rp)∂φ\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial \varphi}∂φ∂(Rp)​即旋转之后点的坐标相对于扰动李代数的导数。2. 根据导数定义展开按照导数的定义∂(Rp)∂φlim⁡φ→0exp⁡(φ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφ\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial \varphi}\lim_{\varphi \to 0}\frac{\exp(\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}∂φ∂(Rp)​limφ→0​φexp(φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​这一步是导数定义的基本应用分子是函数在扰动李代数为φ\varphiφ和扰动李代数为000即无扰动时的函数值之差分母是扰动李代数的增量φ\varphiφ通过取极限φ→0\varphi\to0φ→0来得到导数。3. 利用近似展开当φ\varphiφ很小时根据指数映射在小量情况下的近似展开exp⁡(φ∧)≈Iφ∧\exp(\varphi^{\wedge})\approx\boldsymbol{I}\varphi^{\wedge}exp(φ∧)≈Iφ∧则lim⁡φ→0exp⁡(φ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφlim⁡φ→0(Iφ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφ\lim_{\varphi \to 0}\frac{\exp(\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}\lim_{\varphi \to 0}\frac{(\boldsymbol{I}\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}limφ→0​φexp(φ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​limφ→0​φ(Iφ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)p​这里将exp⁡(φ∧)\exp(\varphi^{\wedge})exp(φ∧)用近似式替换以便后续化简。4. 化简分子对分子进行化简(Iφ∧)exp⁡(ϕ∧)p−exp⁡(ϕ∧)pφ∧exp⁡(ϕ∧)p(\boldsymbol{I}\varphi^{\wedge})\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}\varphi^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}(Iφ∧)exp(ϕ∧)p−exp(ϕ∧)pφ∧exp(ϕ∧)p所以原式变为lim⁡φ→0φ∧exp⁡(ϕ∧)pφ\lim_{\varphi \to 0}\frac{\varphi^{\wedge}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}}{\varphi}limφ→0​φφ∧exp(ϕ∧)p​这一步是通过简单的代数运算将分子中的Iexp⁡(ϕ∧)p\boldsymbol{I}\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}Iexp(ϕ∧)p与−exp⁡(ϕ∧)p-\exp(\phi^{\wedge})\boldsymbol{p}−exp(ϕ∧)p相消得到剩余部分。5. 利用反对称矩阵性质和极限运算根据反对称矩阵性质设Rexp⁡(ϕ∧)R \exp(\phi^{\wedge})Rexp(ϕ∧)则φ∧Rp\varphi^{\wedge}R\boldsymbol{p}φ∧Rp参与运算。我们知道φ∧vφ\frac{\varphi^{\wedge}\boldsymbol{v}}{\varphi}φφ∧v​其中vRp\boldsymbol{v}R\boldsymbol{p}vRp在φ→0\varphi\to0φ→0时的极限情况。lim⁡φ→0φ∧Rpφlim⁡φ→0−(Rp)∧φφ−(Rp)∧\lim_{\varphi \to 0}\frac{\varphi^{\wedge}R\boldsymbol{p}}{\varphi}\lim_{\varphi \to 0}\frac{-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}\varphi}{\varphi}-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}limφ→0​φφ∧Rp​limφ→0​φ−(Rp)∧φ​−(Rp)∧这里利用了反对称矩阵性质a∧b−b∧aa^{\wedge}b -b^{\wedge}aa∧b−b∧a将φ∧Rp\varphi^{\wedge}R\boldsymbol{p}φ∧Rp变形为−(Rp)∧φ-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}\varphi−(Rp)∧φ然后分子分母中的φ\varphiφ在取极限时φφ1\frac{\varphi}{\varphi}1φφ​1最终得到结果−(Rp)∧-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}−(Rp)∧。6. 与直接求导对比相比于直接对李代数求导前面章节的内容扰动模型省去了雅可比矩阵JlJ_lJl​的计算。在位姿估计等实际应用中这种简化使得计算更加高效因此扰动模型更为实用。综上通过以上详细推导步骤得到了在扰动模型左乘下∂(Rp)∂φ−(Rp)∧\frac{\partial(R\boldsymbol{p})}{\partial \varphi}-(R\boldsymbol{p})^{\wedge}∂φ∂(Rp)​−(Rp)∧即旋转之后点的坐标相对于扰动李代数的导数表达式。