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Problem Formulation不失一般性考虑一个尺寸为n ( 4 M 1 ) × ( 4 M 1 ) n (4M 1) \times (4M 1)n(4M1)×(4M1)的二维方形数据矩阵X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗其中J { − 2 M , … , 0 , … , 2 M } × { − 2 M , … , 0 , … , 2 M } J \{-2M, \dots, 0, \dots, 2M\} \times \{-2M, \dots, 0, \dots, 2M\}J{−2M,…,0,…,2M}×{−2M,…,0,…,2M}表示X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的索引的并集。施加此假设是为了简化理论保证的推导只需稍作修改即可移除类似处理方法见 [29]。X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的每个条目都可以表示为在时间索引k [ k 1 , k 2 ] ∈ J \boldsymbol{k} [k_1, k_2] \in Jk[k1​,k2​]∈J处观测到的r rr个复正弦波的叠加即x k ∗ x k 1 , k 2 ∗ 1 ( 4 M 1 ) ∑ i 1 r d i e j 2 π f i ⊤ k , (1) x_{\boldsymbol{k}}^* x_{k_1, k_2}^* \frac{1}{(4M1)} \sum_{i1}^{r} d_i e^{j 2\pi \boldsymbol{f}_i^\top \boldsymbol{k}}, \tag{1}xk∗​xk1​,k2​∗​(4M1)1​i1∑r​di​ej2πfi⊤​k,(1)其中d i d_idi​表示与每个1 ≤ i ≤ r 1 \le i \le r1≤i≤r相关的复振幅。令Ω { f i ( f 1 i , f 2 i ) ∈ [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) , 1 ≤ i ≤ r } \Omega \{\boldsymbol{f}_i (f_{1i}, f_{2i}) \in [0, 1) \times [0, 1), 1 \le i \le r\}Ω{fi​(f1i​,f2i​)∈[0,1)×[0,1),1≤i≤r}为不同频率的集合。为了符号简洁我们引入以下单位范数原子{ a ( f 1 i ) 1 ( 4 M 1 ) [ y i − 2 M , … , 1 , … , y i 2 M ] ⊤ , a ( f 2 i ) 1 ( 4 M 1 ) [ z i − 2 M , … , 1 , … , z i 2 M ] ⊤ , \begin{cases} \boldsymbol{a}(f_{1i}) \frac{1}{\sqrt{(4M1)}} \left[ y_i^{-2M}, \dots, 1, \dots, y_i^{2M} \right]^\top, \\ \boldsymbol{a}(f_{2i}) \frac{1}{\sqrt{(4M1)}} \left[ z_i^{-2M}, \dots, 1, \dots, z_i^{2M} \right]^\top, \end{cases}⎩⎨⎧​a(f1i​)(4M1)​1​[yi−2M​,…,1,…,yi2M​]⊤,a(f2i​)(4M1)​1​[zi−2M​,…,1,…,zi2M​]⊤,​其中y i e j 2 π f 1 i y_i e^{j 2\pi f_{1i}}yi​ej2πf1i​且z i e j 2 π f 2 i z_i e^{j 2\pi f_{2i}}zi​ej2πf2i​。这使得我们可以将X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗写成如下矩阵形式X ∗ Y D Z ⊤ , (2) \boldsymbol{X}^* \boldsymbol{Y} \boldsymbol{D} \boldsymbol{Z}^\top, \tag{2}X∗YDZ⊤,(2)其中Y \boldsymbol{Y}Y由下式给出Y [ a ( f 11 ) , … , a ( f 1 r ) ] ∈ C ( 4 M 1 ) × r , (3) \boldsymbol{Y} [\boldsymbol{a}(f_{11}), \dots, \boldsymbol{a}(f_{1r})] \in \mathbb{C}^{(4M1)\times r}, \tag{3}Y[a(f11​),…,a(f1r​)]∈C(4M1)×r,(3)Z [ a ( f 21 ) , … , a ( f 2 r ) ] ∈ C ( 4 M 1 ) × r , (4) \boldsymbol{Z} [\boldsymbol{a}(f_{21}), \dots, \boldsymbol{a}(f_{2r})] \in \mathbb{C}^{(4M1)\times r}, \tag{4}Z[a(f21​),…,a(f2r​)]∈C(4M1)×r,(4)以及D diag ( [ d 1 , d 2 , ⋯ , d r ] ) diag ( d ) ∈ C r × r . (5) \boldsymbol{D} \text{diag}([d_1, d_2, \cdots, d_r]) \text{diag}(\boldsymbol{d}) \in \mathbb{C}^{r \times r}. \tag{5}Ddiag([d1​,d2​,⋯,dr​])diag(d)∈Cr×r.(5)令Denote byx ∗ vec ( ( X ∗ ) ⊤ ) ∈ C ( 4 M 1 ) 2 \boldsymbol{x}^* \text{vec}((\boldsymbol{X}^*)^\top) \in \mathbb{C}^{(4M1)^2}x∗vec((X∗)⊤)∈C(4M1)2表示向量化的数据矩阵则有then one hasx ∗ ( Y ⊗ Z ) d ∑ i 1 r d i a ( f 1 i ) ⊗ a ( f 2 i ) ∑ i 1 r d i c ( f i ) , (6) \begin{aligned} \boldsymbol{x}^* (\boldsymbol{Y} \otimes \boldsymbol{Z})\boldsymbol{d} \sum_{i1}^{r} d_i \boldsymbol{a}(f_{1i}) \otimes \boldsymbol{a}(f_{2i}) \\ \sum_{i1}^{r} d_i \boldsymbol{c}(\boldsymbol{f}_i), \end{aligned} \tag{6}x∗​(Y⊗Z)di1∑r​di​a(f1i​)⊗a(f2i​)i1∑r​di​c(fi​),​(6)其中⊗ \otimes⊗代表 Kronecker 积且c ( f i ) c ( f 1 i , f 2 i ) : a ( f 1 i ) ⊗ a ( f 2 i ) ∈ C ( 4 M 1 ) 2 . \boldsymbol{c}(\boldsymbol{f}_i) \boldsymbol{c}(f_{1i}, f_{2i}) : \boldsymbol{a}(f_{1i}) \otimes \boldsymbol{a}(f_{2i}) \in \mathbb{C}^{(4M1)^2}.c(fi​)c(f1i​,f2i​):a(f1i​)⊗a(f2i​)∈C(4M1)2.满足∥ c ( f i ) ∥ 2 1 \|\boldsymbol{c}(\boldsymbol{f}_i)\|_2 1∥c(fi​)∥2​1。在本文中我们假设X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的m mm个条目是均匀随机观测到的。具体而言令T ⊂ J T \subset JT⊂J表示索引集使得x k 1 , k 2 ∗ x^*_{k_1, k_2}xk1​,k2​∗​被观测到当且仅当( k 1 , k 2 ) ∈ T (k_1, k_2) \in T(k1​,k2​)∈T。定义算子P T \mathcal{P}_TPT​使得P T ( M ) \mathcal{P}_T(\boldsymbol{M})PT​(M)表示M \boldsymbol{M}M在支撑于T TT上的矩阵子空间上的正交投影。我们将滥用符号在不引起歧义的情况下让T TT、J JJ和P T \mathcal{P}_TPT​同时也分别表示观测条目的集合、所有条目的集合以及关于向量化信号x ∗ \boldsymbol{x}^*x∗的观测算子。本文的主要关注点是恢复原始数据矩阵X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗中未被观测到的条目。我们注意到一旦数据矩阵被恢复频率Ω \OmegaΩ也可以使用诸如 MEMP 方法 [11] 等传统方法来恢复。B. Conventional CS Approach为了应用传统的压缩感知 (CS) 范式我们将x ∗ \boldsymbol{x}^*x∗表示为预定基下的稀疏信号方法是通过网格点t [ t 1 , t 2 ] ∈ Ω d \boldsymbol{t} [t_1, t_2] \in \Omega_dt[t1​,t2​]∈Ωd​将二维平面[ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) [0,1) \times [0,1)[0,1)×[0,1)离散化其中t 1 , t 2 ∈ { 0 , … , 4 M 4 M 1 } t_1, t_2 \in \{0, \dots, \frac{4M}{4M1}\}t1​,t2​∈{0,…,4M14M​}。将得到的 DFT 基写为F [ c ( t ) ∣ t ∈ Ω d ] F 1 ⊗ F 1 ∈ C ( 4 M 1 ) 2 × ( 4 M 1 ) 2 , \boldsymbol{F} [\boldsymbol{c}(\boldsymbol{t})|_{\boldsymbol{t} \in \Omega_d}] \boldsymbol{F}_1 \otimes \boldsymbol{F}_1 \in \mathbb{C}^{(4M1)^2 \times (4M1)^2},F[c(t)∣t∈Ωd​​]F1​⊗F1​∈C(4M1)2×(4M1)2,其中F 1 \boldsymbol{F}_1F1​是一个维数为( 4 M 1 ) × ( 4 M 1 ) (4M1) \times (4M1)(4M1)×(4M1)的 DFT 矩阵。向量化信号x ∗ \boldsymbol{x}^*x∗随后可以使用F \boldsymbol{F}F表示为x ∗ F d ~ , (7) \boldsymbol{x}^* \boldsymbol{F} \tilde{\boldsymbol{d}}, \tag{7}x∗Fd~,(7)其中d ~ \tilde{\boldsymbol{d}}d~是近似稀疏的。CS 理论表明我们可以通过如下ℓ 1 \ell_1ℓ1​最小化来恢复x ∗ \boldsymbol{x}^*x∗min ⁡ d ~ ∥ d ~ ∥ 1 subject to P T ( F d ~ ) P T ( x ∗ ) , \min_{\tilde{\boldsymbol{d}}} \|\tilde{\boldsymbol{d}}\|_1 \quad \text{subject to} \quad \mathcal{P}_T(\boldsymbol{F}\tilde{\boldsymbol{d}}) \mathcal{P}_T(\boldsymbol{x}^*),d~min​∥d~∥1​subject toPT​(Fd~)PT​(x∗),其中最小化结果作为d ~ \tilde{\boldsymbol{d}}d~的估计值返回。上述方法的主要问题在于频率f i \boldsymbol{f}_ifi​绝不会完美地落在网格Ω d \Omega_dΩd​上从而导致真实频率与离散网格之间不可避免的不匹配问题。文献 [22] 已经证明稀疏恢复算法的性能可能会显著退化。在本文中我们将采用一种不同的方法并尝试在不施加网格的情况下直接恢复频率。III. ATOMIC NORM MINIMIZATION FOR 2-D HARMONIC RETRIEVAL原子范数在 [30] 中被提出作为一种设计用于模型选择的凸优化解的通用方法其通过对简约模型的原子集合进行凸化来实现。信号模型的原子集合被定义为信号的最简单构建块例如用于稀疏恢复的单位范数一稀疏向量用于低秩矩阵补全的单位范数秩一矩阵等等。感兴趣的读者可参阅 [30] 以获取关于原子范数的详细讨论。在二维谐波检索的情况下可以直接将原子集合定义为所有归一化二维复正弦波的集合A : { c ( f ) ∣ f ∈ [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) } , \mathcal{A} : \{\boldsymbol{c}(\boldsymbol{f}) | \boldsymbol{f} \in [0, 1) \times [0, 1) \},A:{c(f)∣f∈[0,1)×[0,1)},并将信号x \boldsymbol{x}x的原子范数定义为∥ x ∥ A : inf ⁡ f i ∈ [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) d i ∈ C { ∑ i ∣ d i ∣ ∣ x ∑ i d i c ( f i ) } . (8) \|\boldsymbol{x}\|_{\mathcal{A}} : \inf_{\substack{f_i \in [0, 1) \times [0, 1) \\ d_i \in \mathbb{C}}} \left\{ \sum_i |d_i| \bigg| \boldsymbol{x} \sum_i d_i \boldsymbol{c}(\boldsymbol{f}_i) \right\}. \tag{8}∥x∥A​:fi​∈[0,1)×[0,1)di​∈C​inf​{i∑​∣di​∣​xi∑​di​c(fi​)}.(8)这是通过凸化x \boldsymbol{x}x的原子表示获得的该表示使用最少数量的二维频率尖峰∥ x ∥ A , 0 inf ⁡ f i ∈ [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) d i ∈ C { s ∣ x ∑ i 1 s d i c ( f i ) } . \|\boldsymbol{x}\|_{\mathcal{A}, 0} \inf_{\substack{f_i \in [0, 1) \times [0, 1) \\ d_i \in \mathbb{C}}} \left\{ s \bigg| \boldsymbol{x} \sum_{i1}^s d_i \boldsymbol{c}(\boldsymbol{f}_i) \right\}.∥x∥A,0​fi​∈[0,1)×[0,1)di​∈C​inf​{s​xi1∑s​di​c(fi​)}.上述定义推广了 [29] 中一维谐波信号的原子范数并允许适应更高维度。给定x ∗ \boldsymbol{x}^*x∗的部分观测值或等价地P T ( x ∗ ) \mathcal{P}_T(\boldsymbol{x}^*)PT​(x∗)我们尝试通过以下原子范数最小化规划进行恢复x ^ arg ⁡ min ⁡ x ∥ x ∥ A subject to P T ( x ) P T ( x ∗ ) , (9) \hat{\boldsymbol{x}} \arg\min_{\boldsymbol{x}} \|\boldsymbol{x}\|_{\mathcal{A}} \quad \text{subject to} \quad \mathcal{P}_T(\boldsymbol{x}) \mathcal{P}_T(\boldsymbol{x}^*), \tag{9}x^argxmin​∥x∥A​subject toPT​(x)PT​(x∗),(9)即寻找满足观测约束且具有最小原子范数的信号。该方法在 [29] 中被用于线谱估计此时原子集合为A { a ( f ) ∣ f ∈ [ 0 , 1 ) } \mathcal{A} \{\boldsymbol{a}(f) | f \in [0, 1)\}A{a(f)∣f∈[0,1)}。在 [29] 中表明在温和的频率分离条件下包含O ( r log ⁡ r log ⁡ n ) \mathcal{O}(r \log r \log n)O(rlogrlogn)个样本的随机子集可以确保精确的频率恢复。定理 1令M ≥ 256 M \ge 256M≥256。假设我们在大小为∣ T ∣ m |T| m∣T∣m的索引集T ⊂ J T \subset JT⊂J上均匀随机地观测 (1) 中数据矩阵X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的样本其中f i ∈ [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 ) \boldsymbol{f}_i \in [0, 1) \times [0, 1)fi​∈[0,1)×[0,1)。假设d i d_idi​的符号是独立同分布 (i.i.d.) 的且均匀抽取自{ 1 , − 1 } \{1, -1\}{1,−1}并且f i \boldsymbol{f}_ifi​之间的最小间隔满足Δ min ⁡ ≜ min ⁡ i ≠ j ∥ f i − f j ∥ ∞ min ⁡ i ≠ j max ⁡ { ∣ f 1 i − f 1 j ∣ , ∣ f 2 i − f 2 j ∣ } ≥ 1.19 M , (10) \Delta_{\min} \triangleq \min_{i \ne j} \|\boldsymbol{f}_i - \boldsymbol{f}_j\|_\infty \min_{i \ne j} \max \{|f_{1i} - f_{1j}|, |f_{2i} - f_{2j}|\} \ge \frac{1.19}{M}, \tag{10}Δmin​≜ijmin​∥fi​−fj​∥∞​ijmin​max{∣f1i​−f1j​∣,∣f2i​−f2j​∣}≥M1.19​,(10)其中∣ f 1 i − f 1 j ∣ , ∣ f 2 i − f 2 j ∣ |f_{1i} - f_{1j}|, |f_{2i} - f_{2j}|∣f1i​−f1j​∣,∣f2i​−f2j​∣是单位圆上的环绕距离。那么存在一个数值常数C 0 C 0C0使得如果m ≥ C max ⁡ { log ⁡ 2 M δ , r log ⁡ r δ log ⁡ M δ } , (11) m \ge C \max \left\{ \log^2 \frac{M}{\delta}, r \log \frac{r}{\delta} \log \frac{M}{\delta} \right\}, \tag{11}m≥Cmax{log2δM​,rlogδr​logδM​},(11)则 (9) 的解在概率至少为1 − δ 1 - \delta1−δ下是精确且唯一的。当d i d_idi​的符号是在复单位圆上独立同分布均匀生成时同样的结论成立仅 (10) 中的常数不同。证明可见附录 B。定理 1 表明只要频率如 (10) 中那样满足最小分离一旦m mm达到max ⁡ { log ⁡ 2 n , r log ⁡ r log ⁡ n } \max\{\log^2 n, r \log r \log n\}max{log2n,rlogrlogn}的量级通过原子范数最小化进行的恢复就是精确的。这一阶数界限与 [29] 中推导出的线谱估计性能保证一致。我们将定理 1 与传统的子空间方法如 ESPRIT进行了比较。ESPRIT 能够从数据矩阵X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的Θ ( r ) \Theta(r)Θ(r)个连续样本中恢复潜在频率。精确恢复所需的样本数量仅取决于潜在的自由度而与X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的环境维数无关。相比之下所提出的算法 (9) 假设对数据矩阵X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗进行随机子采样并且需要略高的样本复杂度大约为r log ⁡ r log ⁡ n r \log r \log nrlogrlogn的量级。此外在没有噪声的情况下ESPRIT 允许在不施加如 (10) 所示的分离条件的情况下进行恢复。然而请注意如 [28], [37] 中详述当存在噪声时分离条件是必须的。我们将通过数值算例证明所提出的算法 (9) 在噪声观测下也是稳定的。我们还将定理 1 与 CS [14] 中的标准结果进行了比较。当Ω \OmegaΩ中的频率确实位于 DFT 网格上时CS 允许从数量为O ( r log ⁡ ( n / r ) ) \mathcal{O}(r \log(n/r))O(rlog(n/r))的样本中恢复r rr个复正弦波。所提出的算法 (9) 可以被视为针对偏离网格目标的 CS 方法的一种补救措施其样本复杂度略大。IV. APPROXIMATE SEMIDEFINITE PROGRAM TO SOLVE ATOMIC NORM MINIMIZATION定理 1 表明求解原子范数最小化问题 (9) 允许仅从少量时间样本中完美恢复数据矩阵。然而一个自然的问题是如何以易于处理的方式求解 (9)。不幸的是文献 [29] 中提出的线谱情况下的原子范数最小化的精确半定规划表征无法直接扩展到二维模型这是由于将经典的 Caratheodory 定理 [34] 推广到更高维度存在根本性的困难。尽管如此在本节中我们提出了一种半定规划来近似求解 (9)其在第五节中表现出优异的经验性能。我们还提供了一个充分条件在该条件下所提出的半定规划会返回 (9) 的解。我们描述了当X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗的维数为n 1 × n 2 n_1 \times n_2n1​×n2​不一定是方阵时的一般情况下的算法。我们仍然假设X ∗ \boldsymbol{X}^*X∗满足 (2)但稍微滥用符号令Y [ a ( f 11 ) , … , a ( f 1 r ) ] \boldsymbol{Y} [\boldsymbol{a}(f_{11}), \dots, \boldsymbol{a}(f_{1r})]Y[a(f11​),…,a(f1r​)]其中a ( f 1 i ) [ 1 , e j 2 π f 1 i , … , e j 2 π ( n 1 − 1 ) f 1 i ] ⊤ \boldsymbol{a}(f_{1i}) [1, e^{j2\pi f_{1i}}, \dots, e^{j2\pi (n_1-1)f_{1i}}]^\topa(f1i​)[1,ej2πf1i​,…,ej2π(n1​−1)f1i​]⊤以及Z [ b ( f 21 ) , … , b ( f 2 r ) ] \boldsymbol{Z} [\boldsymbol{b}(f_{21}), \dots, \boldsymbol{b}(f_{2r})]Z[b(f21​),…,b(f2r​)]其中b ( f 2 i ) [ 1 , e j 2 π f 2 i , … , e j 2 π ( n 2 − 1 ) f 1 i ] ⊤ \boldsymbol{b}(f_{2i}) [1, e^{j2\pi f_{2i}}, \dots, e^{j2\pi (n_2-1)f_{1i}}]^\topb(f2i​)[1,ej2πf2i​,…,ej2π(n2​−1)f1i​]⊤只要在上下文中清晰即可。